Triângulo

Os ângulos A ^ , {\displaystyle {\hat {A}},} B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} e C ^ {\displaystyle {\hat {C}}} são ângulos internos de △ A B C , {\displaystyle \triangle {ABC},} enquanto E ^ {\displaystyle {\hat {E}}} = A C ^ D {\displaystyle A{\hat {C}}D} é ângulo externo. Na geometria euclidiana plana , define-se um triângulo da seguinte forma: Dados três pontos, A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} e C , {\displaystyle C,} não colineares, à reunião dos segmentos A B ¯ , {\displaystyle {\overline {AB}},} A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} chama-se triângulo A B C , {\displaystyle ABC,} denotado por △ A B C . {\displaystyle \triangle {ABC}.} Assim: △ A , B , C = A , B ¯ ∪ A , C ¯ ∪ B , C ¯ {\displaystyle \triangle {A,B,C}={\overline {A,B}}\cup {\overline {A,C}}\cup {\overline {B,C}}} [ 1 ]

Vértices: os pontos A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} são os vértices do △ A B C . {\displaystyle \triangle {ABC}.} Lados: os segmentos A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} (de medida c), A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} (de medida b) e B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} (de medida a), são os lados do triângulo A B C . {\displaystyle ABC.} Ângulos internos: os ângulos B A ^ C {\displaystyle B{\hat {A}}C} ou A ^ , {\displaystyle {\hat {A}},} A B ^ C {\displaystyle A{\hat {B}}C} ou B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} e A C ^ B {\displaystyle A{\hat {C}}B} ou C ^ {\displaystyle {\hat {C}}} são os ângulos internos do triângulo A B C , {\displaystyle ABC,} ou seja, são os ângulos entre os lados de um triângulo. Ângulos externos: são os ângulos formados pelo prolongamento de um dos lados com um lado adjacente. Por exemplo, se tomarmos a semirreta B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} e um ponto D {\displaystyle D} sob ela, mas externo ao triângulo, e o lado A C ¯ , {\displaystyle {\overline {AC}},} temos o ângulo A C ^ D , {\displaystyle A{\hat {C}}D,} que é um ângulo externo do triângulo A B C . {\displaystyle ABC.} Diz-se que os lados A B ¯ , {\displaystyle {\overline {AB}},} A C ¯ , {\displaystyle {\overline {AC}},} B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} e os ângulos C ^ , {\displaystyle {\hat {C}},} B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} e A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} são, respectivamente, opostos. [ 1 ]

Os triângulos podem ser classificados conforme as relações entre seus lados ou entre seus ângulos.

Quanto aos lados, há três tipos de triângulos: equiláteros, isósceles e escalenos.

Ver artigo principal: Triângulo equilátero Um triângulo é equilátero se, e somente se, os três lados forem congruentes, isso significa que um triângulo equilátero é um triângulo que possui todos os lados congruentes , ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo : todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular .

Ver artigo principal: Triângulo isósceles Um triângulo é isósceles se, e somente se, pelo menos dois de seus três lados forem congruentes. Isso significa que um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida. Assim, todo triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. Em todo triângulo isósceles os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes.

Um triângulo é escaleno se, e somente se, dois lados quaisquer não forem congruentes. Isso significa que em um triângulo escaleno as medidas dos três lados são diferentes. Assim, os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno

Quanto aos ângulos, pode-se ter três tipos de triângulo: retângulo, obtusângulo e acutângulo. Um triângulo retângulo possui um ângulo reto . Num triângulo retângulo , denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo, opostos aos catetos, são complementares (ou seja, sua soma é igual a 90°). Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos . Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos. Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo Triângulo acutângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. | b − c | < a < b + c {\displaystyle |b-c|<a<b+c}

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C. Um triângulo é um polígono . Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes forem iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais . Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo. Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria . Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a , b e c . O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ. Na geometria euclidiana , de acordo com o teorema angular de Tales , a 32ª proposição de Euclides afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Por exemplo: α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º. Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Ex: Sendo e {\displaystyle e} a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C , {\displaystyle C,} pode-se afirmar que: e = α + β {\displaystyle e=\alpha +\beta } Teorema de Pitágoras . Um teorema central é o Teorema de Pitágoras , que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos. O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos : c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma } Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas. A lei dos senos diz: s e n α a = s e n β b = s e n γ c = 1 d {\displaystyle {\frac {\mathrm {sen} \,\alpha }{a}}={\frac {\mathrm {sen} \,\beta }{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,\gamma }{c}}={\frac {1}{d}}} Onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar as medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas. Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 1 : 1 : 2 . {\displaystyle 1:1:{\sqrt {2}}.} O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 1 : 3 : 2. {\displaystyle 1:{\sqrt {3}}:2.}

Produto Base Altura A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: A = ( B ⋅ h ) 2 , {\displaystyle A={(B\cdot h) \over 2},} onde h é a altura do triângulo, b a medida da base. Triângulos equiláteros Se o triângulo for equilátero de lado l , sua área A pode ser obtida com: A = l 2 3 4 . {\displaystyle A={l^{2}{\sqrt {3}} \over 4}.} Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é: h = l 3 2 . {\displaystyle h={l{\sqrt {3}} \over 2}.} Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais. Semiperímetro Ver artigo principal: Teorema de Heron Outra maneira de calcular sua área é através do teorema de Herão (ou Heron), também conhecido como fórmula do semiperímetro: A = s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b ) ⋅ ( s − c ) , {\displaystyle A={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}},} em que: s = ( a + b + c ) 2 {\displaystyle s={(a+b+c) \over 2}} é o semiperímetro. Lados Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo a e b dois lados quaisquer de um triângulo, e α {\displaystyle \alpha } o ângulo entre eles, temos que a área é: A = a ⋅ b ⋅ s e n ( α ) 2 {\displaystyle A={a\cdot b\cdot sen(\alpha ) \over 2}} Raio circunscrito Ver artigo principal: Lei dos senos Há ainda a fórmula da área do triângulo em função das medidas dos lados a , b , c {\displaystyle a,b,c} e do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo r , {\displaystyle r,} demonstrada pela lei dos senos: A = a ⋅ b ⋅ c 4 ∗ r {\displaystyle A={a\cdot b\cdot c \over {4*r}}}

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro , que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos. O teorema de Tales (ou lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.